Конспекти уроків

Конспекти уроків з теми: «Перпендикулярність прямих і площин в просторі.»

 Урок 1. 

 Тема: Перпендикулярність прямих у просторі. 

 Мета уроку: 

• Навчальна: вивчити означення перпендикулярних прямих.
• Розвиваюча:  сформувати навички розв’язування задач і застосування нових понять. Розвивати просторову уяву та логічне мислення учнів. 
• Виховна: виховувати увагу, активність, формувати вміння слухати і висловлювати власні думки.

 Тип уроку – урок засвоювання нових знань та вмінь.
 Обладнання: комп’ютер, проектор, презентація, набір для побудови стереометричних моделей, каркасна модель куба. 

• Актуалізація: 

• Які прямі на площині називаються перпендикулярними?
• Скільки перпендикулярів до даної прямої можна провести через дану точку у площині?
• Які є два випадки розміщення точки? (Точка А ∈ а; точка А ∉ а)
• Сформулювати теорему Піфагора. Де її застосовують?

• Сприймання і усвідомлення:

• Які основні геометричні фігури ми розглядаємо в просторі?
• Які випадки паралельності ми вивчили?
• Що використовували для їх вивчення (означення і ознаки)?

Аналогічно будемо вивчати перпендикулярність в просторі. Перпендикулярність – одне з найважливіших відношень в геометрії. У стереометрії розглядають 3 випадки перпендикулярності: перпендикулярність прямих; перпендикулярність прямої і площини; перпендикулярність площин. Створимо нову картку – підказку і назвемо її "Перпендикулярність в просторі".

При перетині двох прямих утворюється чотири кути. Можливі два випадки: 

• Усі чотири кути прямі.
• Два гострі, два тупі.

Тому означення: кутом між двома прямими, що перетинаються, називають величину того з кутів, які утворилися при перетині, які не більший 90°

 

-  Які прямі називають перпендикулярними? Якщо вони перетинаються під прямим кутом – означення записують: а⊥b. Перпендикулярні прямі можуть перетинатися, а можуть бути і мимобіжними. Знайти означення в пункті 8.

- Які відрізки називають перпендикулярними?

- Назвіть в класній кімнаті моделі прямих, перпендикулярних між собою. 

- Покажіть на моделі куба перпендикулярні відрізки. 

• Закріплення та осмислення знань учнів.

Розв’язування задач.

• Задача 1: про єдність перпендикуляра і прямої (№8.1)

• Як можуть бути розміщені пряма а і точка А в просторі?

• Точка А ∈ а.
• Точка А ∉ а.

Доведення єдності методом від супротивного.

Припускаємо протилежне до того, що треба довести, і приходимо до суперечності. Нехай існує ще один перпендикуляр b₁ з точки А до прямої а, то він повинен належати площині α, яка визначається перпендикуляром b і прямою а. В площині α вже є один перпендикуляр – b. За аксіомою планіметрії – він єдиний.

• Задача 2.

Дано зображення куба АBCDA₁B₁C₁D₁. Запишіть прямі, які перпендикулярні до прямої AA₁ і проходять через точку А; позначте на малюнку прямі кути. 

• Задача 3.

У прямокутному паралелепіпеді АBCDA₁B₁C₁D₁ AB = 1 см; AD = 2 см: BA₁ = 3 см.

Знайти: 1) Довжину BD; 2) Довжину AA₁; 3) Довжину BD.

• Задача 4. №8.9

• Домашнє завдання: 

• Вивчити п. 8 §3( питання 1, 3, 4); 
• Розв’язати № 8.2; №8.8.

• Рефлексія; підсумки уроку:

• Скільки прямих, перпендикулярних до даної прямої, можна провести через точку на цій прямій? 
• Скільки прямих, перпендикулярних до даної прямої, можна провести через точку, яка не лежить на цій прямій?Конспекти уроків з теми: «Перпендикулярність прямих і площин в просторі.»

   Урок 1. 

   Тема: Перпендикулярність прямих у просторі. 

   Мета уроку: 

  • Навчальна: вивчити означення перпендикулярних прямих.
  • Розвиваюча:  сформувати навички розв’язування задач і застосування нових понять. Розвивати просторову уяву та логічне мислення учнів. 
  • Виховна: виховувати увагу, активність, формувати вміння слухати і висловлювати власні думки.

   Тип уроку – урок засвоювання нових знань та вмінь.
   Обладнання: комп’ютер, проектор, презентація, набір для побудови стереометричних моделей, каркасна модель куба. 

  • Актуалізація: 
  • Які прямі на площині називаються перпендикулярними?
  • Скільки перпендикулярів до даної прямої можна провести через дану точку у площині?
  • Які є два випадки розміщення точки? (Точка А ∈ а; точка А ∉ а)
  • Сформулювати теорему Піфагора. Де її застосовують?
  • Сприймання і усвідомлення:
  • Які основні геометричні фігури ми розглядаємо в просторі?
  • Які випадки паралельності ми вивчили?
  • Що використовували для їх вивчення (означення і ознаки)?

  Аналогічно будемо вивчати перпендикулярність в просторі. Перпендикулярність – одне з найважливіших відношень в геометрії. У стереометрії розглядають 3 випадки перпендикулярності: перпендикулярність прямих; перпендикулярність прямої і площини; перпендикулярність площин. Створимо нову картку – підказку і назвемо її "Перпендикулярність в просторі".

  При перетині двох прямих утворюється чотири кути. Можливі два випадки: 

  • Усі чотири кути прямі.
  • Два гострі, два тупі.

  Тому означення: кутом між двома прямими, що перетинаються, називають величину того з кутів, які утворилися при перетині, які не більший 90°

   

  -  Які прямі називають перпендикулярними? Якщо вони перетинаються під прямим кутом – означення записують: а⊥b. Перпендикулярні прямі можуть перетинатися, а можуть бути і мимобіжними. Знайти означення в пункті 8.

  - Які відрізки називають перпендикулярними?

  - Назвіть в класній кімнаті моделі прямих, перпендикулярних між собою. 

  - Покажіть на моделі куба перпендикулярні відрізки. 

  • Закріплення та осмислення знань учнів.

  Розв’язування задач.

  • Задача 1: про єдність перпендикуляра і прямої (№8.1)
  • Як можуть бути розміщені пряма а і точка А в просторі?
  • Точка А ∈ а.
  • Точка А ∉ а.

  Доведення єдності методом від супротивного.

  Припускаємо протилежне до того, що треба довести, і приходимо до суперечності. Нехай існує ще один перпендикуляр b₁ з точки А до прямої а, то він повинен належати площині α, яка визначається перпендикуляром b і прямою а. В площині α вже є один перпендикуляр – b. За аксіомою планіметрії – він єдиний.

  • Задача 2.

  Дано зображення куба АBCDA₁B₁C₁D₁. Запишіть прямі, які перпендикулярні до прямої AA₁ і проходять через точку А; позначте на малюнку прямі кути. 

  
  

  
  

  • Задача 3.

  У прямокутному паралелепіпеді АBCDA₁B₁C₁D₁ AB = 1 см; AD = 2 см: BA₁ = 3 см.

  Знайти: 1) Довжину BD; 2) Довжину AA₁; 3) Довжину BD.

  • Задача 4. №8.9
  • Домашнє завдання: 
  • Вивчити п. 8 §3( питання 1, 3, 4); 
  • Розв’язати № 8.2; №8.8.
  • Рефлексія; підсумки уроку:
• Скільки прямих, перпендикулярних до даної прямої, можна провести через точку на цій прямій? 
• Скільки прямих, перпендикулярних до даної прямої, можна провести через точку, яка не лежить на цій прямій?Конспекти уроків з теми: «Перпендикулярність прямих і площин в просторі.»

   Урок 1. 

   Тема: Перпендикулярність прямих у просторі. 

   Мета уроку: 

  • Навчальна: вивчити означення перпендикулярних прямих.
  • Розвиваюча:  сформувати навички розв’язування задач і застосування нових понять. Розвивати просторову уяву та логічне мислення учнів. 
  • Виховна: виховувати увагу, активність, формувати вміння слухати і висловлювати власні думки.

   Тип уроку – урок засвоювання нових знань та вмінь.
   Обладнання: комп’ютер, проектор, презентація, набір для побудови стереометричних моделей, каркасна модель куба. 

  • Актуалізація: 
  • Які прямі на площині називаються перпендикулярними?
  • Скільки перпендикулярів до даної прямої можна провести через дану точку у площині?
  • Які є два випадки розміщення точки? (Точка А ∈ а; точка А ∉ а)
  • Сформулювати теорему Піфагора. Де її застосовують?
  • Сприймання і усвідомлення:
  • Які основні геометричні фігури ми розглядаємо в просторі?
  • Які випадки паралельності ми вивчили?
  • Що використовували для їх вивчення (означення і ознаки)?

  Аналогічно будемо вивчати перпендикулярність в просторі. Перпендикулярність – одне з найважливіших відношень в геометрії. У стереометрії розглядають 3 випадки перпендикулярності: перпендикулярність прямих; перпендикулярність прямої і площини; перпендикулярність площин. Створимо нову картку – підказку і назвемо її "Перпендикулярність в просторі".

  При перетині двох прямих утворюється чотири кути. Можливі два випадки: 

  • Усі чотири кути прямі.
  • Два гострі, два тупі.

  Тому означення: кутом між двома прямими, що перетинаються, називають величину того з кутів, які утворилися при перетині, які не більший 90°

   

  -  Які прямі називають перпендикулярними? Якщо вони перетинаються під прямим кутом – означення записують: а⊥b. Перпендикулярні прямі можуть перетинатися, а можуть бути і мимобіжними. Знайти означення в пункті 8.

  - Які відрізки називають перпендикулярними?

  - Назвіть в класній кімнаті моделі прямих, перпендикулярних між собою. 

  - Покажіть на моделі куба перпендикулярні відрізки. 

  • Закріплення та осмислення знань учнів.

  Розв’язування задач.

  • Задача 1: про єдність перпендикуляра і прямої (№8.1)
  • Як можуть бути розміщені пряма а і точка А в просторі?
  • Точка А ∈ а.
  • Точка А ∉ а.

  Доведення єдності методом від супротивного.

  Припускаємо протилежне до того, що треба довести, і приходимо до суперечності. Нехай існує ще один перпендикуляр b₁ з точки А до прямої а, то він повинен належати площині α, яка визначається перпендикуляром b і прямою а. В площині α вже є один перпендикуляр – b. За аксіомою планіметрії – він єдиний.

  • Задача 2.

  Дано зображення куба АBCDA₁B₁C₁D₁. Запишіть прямі, які перпендикулярні до прямої AA₁ і проходять через точку А; позначте на малюнку прямі кути. 

  
  

  
  

  • Задача 3.

  У прямокутному паралелепіпеді АBCDA₁B₁C₁D₁ AB = 1 см; AD = 2 см: BA₁ = 3 см.

  Знайти: 1) Довжину BD; 2) Довжину AA₁; 3) Довжину BD.

  • Задача 4. №8.9
  • Домашнє завдання: 
  • Вивчити п. 8 §3( питання 1, 3, 4); 
  • Розв’язати № 8.2; №8.8.
  • Рефлексія; підсумки уроку:
• Скільки прямих, перпендикулярних до даної прямої, можна провести через точку на цій прямій? 
• Скільки прямих, перпендикулярних до даної прямої, можна провести через точку, яка не лежить на цій прямій?

Урок 2; 3.

Тема: Перпендикулярність прямої і площини. Ознаки перпендикулярності прямої і площини. Властивості прямої і площини, перпендикулярних між собою.

Мета уроку:

• навчальна: сформувати поняття про пряму, перпендикулярну до площини; вивчити ознаку перпендикулярності;
• розвивальна: розвивати вміння застосовувати одержані знання до розв’язання задач; вдосконалювати математичне мислення і просторову уяву;
• виховна: виховувати розуміння важливості математичних знань в житті.

Тип уроку: урок засвоєння нових знань.

Обладнання:  комп’ютер, проектор, презентація, набір для побудови стереометричних моделей.

І. Перевірка домашнього завдання:

17

B

A

15

D

?

C

17

B

A

15

D

?

C

2. № 8.9 – перевірити по записах на дошці, які зроблені до початку уроку

1) AB ⊥ AC, AB ⊥ AD, AC ⊥ AD з  за теоремою Піфагора:  =           =  =  =  = 6

2) з    за теоремою Піфагора 

3) У   катети 8 і 6 см, то  єгипетський. Тому CD = 10 см.

Відповідь: 10 см.

ІІ. Актуалізація опорних знань учнів

• які прямі називаються ⊥ ?
• чи завжди ⊥ прямі лежать в одній площині?
• яким може бути взаємне розміщення прямої і площини?
• в яких об’єктах реального життя можна зустріти ⊥ прямої і площини?

ІІІ. Сприймання, усвідомлення і формулювання теми, мети і завдань уроку

• Означення: Пряма, називається ⊥ перпендикулярною до площини, якщо вона перпендикулярна кожній прямій, яка лежить у цій площині і проходить через точку перетину прямої.

Два відрізки в просторі називаються ⊥ до площини, якщо вони лежать на перпендикулярних прямих. Пропоную учням із набору створити стереометричну модель означення (на кожну парту).

• В житті доволі часто виникає необхідність перевірити перпендикулярність прямої і площини чи вертикально (прямо) поставлені стовпи, флагшток, антени.

• яка найменша кількість прямих має бути, щоб перевірити перпендикулярність прямої і площини?

За допомогою стереометричної моделі учні встановлюють що досить перевірити перпендикулярність лише до двох прямих і роблять висновок про практичне правило: – ознаку перпендикулярності прямої і площини.

Ознака (практичне правило) перпендикулярності прямої і площини – Теорема 9.1 Якщо пряма перпендикулярна двом прямим, що перетинаються у площині, то вона перпендикулярна цій площині.

 

Доведення:

 Нехай a — пряма, перпендикулярна прямим b і c у площині. Проведемо пряму a через точку A перетину прямих b і c. Доведемо, що пряма a перпендикулярна площині, тобто кожній прямій в цій площині.

 

1. Проведемо довільну пряму x через точку A в площині і покажемо, що вона перпендикулярна прямій a. Проведемо в площині довільну пряму, що не проходить через точку A і перетинає прямі b, c і x. Нехай точками перетину будуть B, C і X. 

2. Відкладемо на прямій a від точки A в різні сторони рівні відрізки AM і AN.

3. Трикутник MCN рівнобедрений, оскільки відрізок AC є висотою за умовою теореми і медіаною з побудови (AM=AN). З тієї ж причини трикутник MBN теж рівнобедрений.

 4. Отже, трикутники MBC і NBC рівні за трьома сторонами.

 5. З рівності трикутників MBC і NBC випливає рівність кутів MBX і NBX і, отже, рівність трикутників MBX і NBX за двома сторонами та кутом між ними.

 6. З рівності сторін MX і NX цих трикутників випливає, що трикутник MXN рівнобедрений. Тому його медіана XA є також висотою. А це і означає, що пряма x a. За визначенням пряма a перпендикулярна площині.

Отже, як практично встановити ялинку, якщо підставка має форму хрестовини?

IV. Закріплення. Розв’язування задач.

1) № 9.5 усно з демонстрацією на каркасній моделі куба

2) Дано зображення куба. Довести, що:

а) ₁

б)  )

в) 

г) 

д) 

Позначити на малюнку прямі кути, зробити відповідні записи.

• № 9.13

• Визначимо вид трикутника

• З 

V. Актуалізація.

Що ви знаєте про:

• Дві прямі, які перпендикулярні до третьої на площині?
• Про пряму, яка перпендикулярна до однієї з двох паралельних прямих?
• Чи справедливі вони у просторі?

Пропоную учням створити з набору відповідні стереометричні моделі і сформулювати аналогічні твердження для таких двох прямих і площини.

Два учні наперед підготували доведення теорем. По готових рисунках доводять на дошці:

Теорема 9.2. Якщо одна з двох паралельних прямих перпендикулярна до площини, то й і друга пряма перпендикулярна до цієї площини.

Теорема 9.3. Якщо дві прямі перпендикулярні до однієї і тієї самої площини, то вони паралельні (доведення методом від супротивного).

VI. Закріплення. Розв’язування задач.

- що можна сказати про пряму, яка паралельна до перпендикуляра проведеного до площини?

- як розташовані кілька перпендикулярів до однієї площини?

№ 9.7 

Зробити запис у зошитах:

  

Відповідь. Правильне твердження 2)

№ 9.14 (на доведення)

№ 9.28

• З 

BH=DC=12 см.

VII. Підсумки уроку.

• Коротенька презентація про перпендикулярність прямої і площини (означення, ознаки) – готують учні.
• В картку підказку занесемо ознаку перпендикулярності прямої і площини, та властивості перпендикулярних прямих і площини.

Ознака  прямої і площини Ознака  прямої і площини

Властивості  прямих і площини Властивості  прямих і площини

VIIІ. Домашнє завдання

• Вивчити п.9 § 3 (питання 1-5)
• Розв’язати № 9.6; 9.11; 9.15; 9.29. Додатково № 9.38.

Урок 4

Тема: Перпендикуляр і похила.  Властивості  перпендикуляра і похилих.

Мета уроку:

• навчальна: сформувати поняття перпендикуляра до площини, похилої, проекції похилої на площину, відстані від точки до площини;установити взаємозв’язок між довжинами похилих, проведених з однієї точки до площини, і довжинами їхніх проекцій на площину.

• розвиваюча: розвивати вміння застосовувати здобуті знання для розв’язування задач; розпізнавати вивчені фігури на моделях і рисунках; вдосконалювати  математичне мовлення,розвивати просторову уяву, логічне мислення, пам’ять.

• виховна: створити на уроці «ситуацію успіху»; виховувати  увагу,активність; формувати вміння слухати і висловлювати  власні думки, працювати в групі.

Тип уроку: засвоєння нових знань та вмінь.

Обладнання: комп’ютер, проектор, презентація, бук трейлер, каркасні моделі многогранників, набір для побуди стереометричних моделей, А. Г. Мерзляк, 

Д.А. Номіровський, В. Б. Полонський, М. С. Якір Геометрія 10 клас: Підручник для 10 кл. Профільний рівень. -  Х., “Гімназія”, 2018.

Структура уроку:

І. Організаційний етап  

ІІ. Перевірка домашнього завдання.  

ІІІ. Актуалізація опорних знань 

ІV.  Мотивація навчальної діяльності

V. Формулювання теми, мети і завдань уроку 

VІ. Вивчення нового матеріалу.

VIІ.  Підсумок уроку 

VIІI.  Домашнє завдання 

Хід уроку

• Організаційний етап. 

Перевірка готовності до уроку. Учні класу об’єднуються в три групи.

• Перевірка домашнього завдання.  

Учні доводять, розв’язують  домашні задачі за готовими малюнками на слайді.

№ 9.11

№ 9.15

IІІ. Актуалізація опорних знань

Пригадуємо з учнями теоретичний матеріал з планіметрії про перпендикуляр до прямої, похилу, і її проекцію та властивості похилих і проекцій на площині.

Бліц-опитування теоретичного матеріалу

-   сформулюйте означення перпендикулярних прямих в просторі;

-   сформулюйте ознаку перпендикулярних прямих в просторі;

- сформулюйте означення перпендикулярності прямої і площини в просторі;

-   сформулюйте ознаку перпендикулярності прямої і площини в просторі;

IV. Мотивація навчальної діяльності.

Вчитель. В житті ви бачили стовпи, вишки, антени, щогли, парусники. Це матеріальні моделі перпендикулярів площини ґрунту. Бачили також їх кріплення – троси-відтяжки – наочні приклади похил до площини ґрунту. На практиці потрібно обчислити висоту стовпа, довжину кріплення антени і т.д.

V. Формулювання теми, мети і завдань уроку 

• Сьогодні на уроці ми вивчимо нові поняття: відрізок перпендикулярний                                            до площини, перпендикуляр до площини, похила, основа                      перпендикуляра, основа похилої, проекція похилої на площину.   Дослідимо властивості перпендикуляра і похилої,                                            проведених  з однієї точки  до площини

VІ. Вивчення нового матеріалу.

  

  

Робота в групах. Дослідження. Кожна група досліджує одну із властивостей перпендикуляра і похилих проведених із однієї точки до площини. 

Напрямки дослідження:

• Кількість перпендикулярів і похилих, що можна провести до площини з точки поза площиною.
• Порівняння довжин перпендикуляра і похилої проведених з однієї точки до площини.
• Порівняння довжин двох похилих, проведених з однієї точки до площини та їх проекцій.

 

 

Представники кожної групи демонструють доведення однієї властивості.

Закріплення нового матеріалу.

Представники кожної групи розв’язують усні і письмові задачі.

  

Практична задача.

Група учнів одержала попереднє завдання зробити необхідні вимірювання для визначення висоти кріплення ретрансляційної вишки.

Перегляд бук трейлера. 

За готовим малюнком на дошці, учень розв’язує задачу. 

H=9*5,2547,25 (м)  50 (м)

VІI . Підсумок уроку 

Висновки, оцінювання учнів.

VIІІ. Домашнє завдання.  

• Вивчити п. 10 § 3 (питання 1-4) 
• Розв’язати № 10.4; 10.6; 10.19 

Урок 5; 6

Тема: Розв’язування задач. Самостійна робота (контролюючого характеру)

Мета уроку:

• навчальна:  вивчити властивість точки простору , рівновіддаленої від вершин многокутника, сприяти закріпленню вивченого теоретичного матеріалу на практиці; усвідомлення учнями доцільності вивчення понять перпендикуляр і похила; забезпечити формування ключових компетентностей; перевірка набуття компетентностей; 
• розвивальна:  розвивати просторову уяву, логічні мислення, пізнавальну самостійність учнів;
• виховна: розвиток в учнів комунікативної компетентності (культури спілкування, уміння працювати в групах).

Тип уроку: формування умінь і навичок.

Очікувані результати:

• формулює означення і ознаки понять перпендикулярності прямих, перпендикулярності прямої і площини, розрізняє перпендикуляр і похилу;
• класифікує взаємне розміщення двох прямих в просторі, прямої і площини;
• аналізує, досліджує та обґрунтовує перпендикулярність прямих, прямої і площини;
• моделює стереометрично текстовий зміст задач та ілюструє його за допомогою рисунка;
• розв’язує задачі, що передбачають встановлення взаємного розміщення двох прямих простору; прямої і площини; застосування ознак перпендикулярності прямої і площини, властивостей перпендикулярних прямих в просторі, перпендикуляра і похилої, моделювання життєвих ситуацій застосування перпендикулярності прямих і площин.

Хід уроку

І. Перевірка домашнього завдання.

Учитель відповідає на запитання учнів, які виникли в ході перевірки домашнього завдання.

ІІ. Організаційний момент

На попередньому уроці вивчаючи перпендикуляр і похилу, ви були об’єднані в групи, кожна з яких працювала над вивченням, дослідженням та застосуванням властивостей перпендикуляра і похилих в просторі.

Сьогодні ми продовжимо працювати в групах, розглянемо ключову задачу, її застосування і перевіримо, як ви навчилися будувати і досліджувати математичні моделі реальних об’єктів.

ІІІ. Мозковий штурм

• ознака перпендикулярності прямої і площини;
• перпендикуляр до площини? Похила?  Проекція?
• властивість перпендикуляра і похилої?
• властивість похилих та їх проекцій?
• відстань від точки до площини? 
• нагадаєте де знаходяться точки рівновіддалені від кінця відрізка на площині?
• яка точка площини рівновіддалена від всіх вершин квадрата? трикутника? (центр описаного кола)
• у просторі скільки є точок рівновіддалених від вершин квадрата? трикутника? (безліч)

Вияснивши де ці точки знаходяться, разом з учнями створюємо стереометричну модель.

IV. Формування вмінь і навичок

Задачі 1. (ключова) про точку простору рівновіддалену від вершин многокутника Довести, що якщо точка простору рівновіддалена від вершин многокутника, то її ортогональна проекція на площину многокутника є центр кола описаного навколо цього многокутника. Разом з учнями створюємо модель, взявши за многокутник квадрат, в точці перетину діагоналей квадрата встановлюємо перпендикуляр до площини квадрата.

Учні в групах шукають ідеї доведення теореми по моделі:

• трикутники рівні за спільним катетом і гіпотенузою;
• рівні похилі – рівні проекції. Рівні проекції – це радіус описаного кола, а основа перпендикуляра – центр цього кола.

Учні виконують на дошці і в зошитах рисунок і записують одну з ідей доведення теореми.

Замість квадрата можна взяти прямокутник, різні трикутники, рівнобічну трапецію. Точка простору рівновіддалена від їх вершин спроектується в центр кола, описаного навколо цих многокутників. Демонструю це на стереометричних моделях.

Де знаходяться центри кіл, описаних навколо многокутників? Скористаємось карткою-підказкою, яку склали в 9 класі. Нагадаємо  розміщення центра кола та довжину радіуса описаного кола у многокутниках.

     

Задача 2. (зразок запису розв’язку)

Знайти відстань від точки M простору, яка рівновіддалена від вершин рівностороннього трикутника АВС на 13 см, якщо сторона трикутника дорівнює . 

Звертаю увагу учнів на побудову рисунка, його наочність, позначення рівних елементів.

• Точка М простору рівновіддалена від вершин трикутника АВС, то її проекцією на площину АВС є центр кола, описаного кола навколо трикутника АВС. Трикутник АВС правильний, то 
• З  за т. Піфагора: 

V. Робота в групах. Розв’язати задачі (по одній на кожну групу)

Задача 1. 

Коло радіусом 4 см, описано навколо квадрата. З центра цього кола проведено перпендикуляр до площини квадрата довжиною 3 см. Знайти відстань від кінця перпендикуляра до вершин квадрата.

Задача 2.

Поза площиною прямокутного трикутника з катетами 16см і 12см дано точку, яка знаходиться на відстані 26 см від кожної його вершини. Знайти відстань від цієї точки до площини трикутника.

Задача 3.

Площа рівностороннього трикутника  см. Знайдіть відстань від площини трикутника до точки, віддаленої від усіх його вершин на 13 см.

Представники груп відповідають з розв’язками задач по наперед заготовлених рисунках на зворотній стороні дошки. На рисунках позначають рівні сторони та кути, прямі кути і числа відповідно до умови задач. Кожну задачу учні записують в зошит.

VІ. Практична задача.

Над літнім будинком з розмірами 6м і 8м, треба виготовити дах, найвища точка якого на висоті 2м. Якої довжини крокви мають бути? 

Складіть математичну модель цієї задачі, сформулюйте її умову (розміри будинку – сторони прямокутника, крокви – довжини похилих). ()

VІІ. Узагальнення 

• Що занесемо в картку підказку?

Якщо точка простору рівновіддалена від вершин многокутника, то її проекцією на площину многокутника є центр кола, описаного навколо цього многокутника.

№ 10.24 (підручник) (по можливості часу)

• Точка М простору рівновіддалена від вершин трикутника АВС, то її проекцією на площину АВС є центр кола, описаного кола навколо трикутника АВС.
• за наслідком з т. синусів 
• З  за т. Піфагора: 

VІІІ. Самостійна робота (контролюючого характеру)

Варіант 1	Варіант 2
Дано куб ABCDA1B1C1D1. Вказати площини, до яких перпендикулярна пряма СС1 (1б) Площина квадрата ABCD перпендикулярна до прямої BF. Чи може ця площина бути паралельною до прямої КМ, якщо  Чому? (2б) Із точки до площини проведено перпендикуляр завдовжки 6 см і похилу завдовжки  см. Знайти проекцію цієї похилої на дану площину. (2б) Відстані від точки М, до всіх вершин квадрата дорівнюють по 13 см, а до площини квадрата – 12 см. Знайти діагональ квадрата (3б)	Дано куб ABCDA1B1C1D1. Вказати прямі перпендикулярні до площини DD1C1C. (1б) Дві прямі AD i BF перпендикулярні до площини трикутника АВС. Чи можуть вони перетинатися? Чому? (2б) Із точки А до площини  проведене перпендикуляр і похилу завдовжки 13 см. Проекція даної похилої на площину  дорівнює 5 см. Знайти відстань від точки А до площини . (2б) Відстань від точки М до всіх вершин квадрата дорівнює 10 см. Знайти відстань від точки М до площини квадрата, якщо діагональ квадрата дорівнює 12 см (3б)
Варіант 3	Варіант 4
Дано куб ABCDA1B1C1D1. Довести, що ВВ1 А1С1. (3б) З точки, яка знаходиться на відстані 5 см від площини  , проведені дві похилі на площину, які утворюють між собою кут 600, а з перпендикуляром до площини – кут 450. Знайти відстань між основами похилих. (4б) Відстань від точки М до всіх вершин правильного трикутника дорівнює 5 см, а до площини трикутника – 3 см. Знайти висоту трикутника. (4б)	Дано куб ABCDA1B1C1D1. Довести, що CC1 BD. (3б) З точки, яка знаходиться на відстані 6 см від площини, проведено дві похилі. Знайти відстань між основами похилих, якщо кут між похилою та її проекцією дорівнює 300, а між проекціями 1200. (4б) Відстань від точки М до кожної вершини правильного трикутника дорівнює 10 см. Знайти відстань від точки М до площини трикутника, якщо медіана трикутника дорівнює 9 см. (4б)

ІХ. Домашнє завдання

• Повторити п. 8-10 § 3
• Розв’язати № 10.22; 10.23; 10.25

Картки-підказки на уроки за посиланням

https://drive.google.com/file/d/1z3_mC4-6agnf1JBUcf59TGdzLqDjcz8-/view?usp=sharing